Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der by EDMUND LANDAU

By EDMUND LANDAU

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2) Es liege x auf 1, x' auf 1; es sei x =1= x'. x gehore zu keinem K m, x' zu keinem (Km). Dann ist rp< E. Denn enthalt (x ... x') ein K m , so folgt es aus 1). Anderenfalls gehOren x und x' fiir jedes m einem der zu 1- (~) - ... - (Km) gehOrigen RestintervaJIe an. 1m FaIle endlich vieler Km (m = 1, ... , M) wurde, wenn rp > E ware, das Verfahren nicht bei m = M abbrechen; im FaIle unendlich vieler Km wahle man m mit KmH < Ix-x'l, und KmH ware falsch konstruiert. 2. Es entstand fur jedes v = 0, ...

Xn - 2: nlanl+ n=l ~ n=rn+l 1) 00 an xn , -< (1 - x) n, ~ la"lx". n=rn+l - 53 - Falls Em die obere Grenze von n la,,1 fiir n >- m bezeichnet, ist nach V oraussetzung Em - O. Die letzte Summe wird so abgeschatzt: 00 = <~ ~ x" - m n=O Em m(l-x) . Andererseits folgt aus n Ian I - 0 fur das arithmetische Mittel 1 - m ~ n m n =l Wird also x = 1 - woraus wegen ~ m la"l- 0 bei m - 00. gesetzt, so folgt bei m - 00 r(l- ~)-+O m die Behauptung 8",-0 folgt. ) - 0 nebst na" - 0; denn wegen Inanl < c, If' (x) I = ~ na"x"-l I< In=l 00 c 00 ~ X"-l n=l = c -~ 1-x ·t foour 1 --

0 (1), das zweite s ( v (\+ E») p . + 0 (1). Daher ist bei t ->- + 0 S(V(\-E»)>-_ ~: +0(1), S(V(\+E))< ~: +0(1). Folglich ist (fUr v >- 8) lim s(u)>-- Q. , lim s(u) < p . u=oo u=oo v -+ 00 9-,,-. p .. gibt nach Hilfssatz 4 s(u)-+O, 00 ~ n=1 an = O. § 11. Einige Nachtrage. Ich kehre zu einfacheren Dingen zuruck und beweise, lediglich, well sie nachher angewendet werden, noch zwei 8iitze aus diesem Ideenkreis. - 63 - Satz A. Voraussetzung : Es sei ferner bei wachsendem r lim r{re

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