Funktionentheorie: Eine Einführung by Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

By Prof. Dr. Klaus Jänich (auth.)

Unter Funktionentheorie versteht guy die Theorie der analytischen oder holomorphen Funktionen einer komplexen Ver?nderlichen. Die vorliegende vollst?ndig neubearbeitete Auflage ist eine f?r das Grundstudium gedachte erste Einf?hrung in dieses Gebiet. Vom Cauchyschen Integralsatz aus wird der Leser an die grundlegenden Begriffe und S?tze der Funktionentheorie herangef?hrt: Cauchyformel, Potenz- und Laurentreihenentwicklungssatz, Identit?tssatz, Gebietstreue, isolierte Singularit?ten und meromorphe Funktionen, analytische Fortsetzung, Residuensatz und Residuenkalk?l, der Satz von Mittag-Leffler, der Weierstra?sche Produktsatz und der Riemannsche Abbildungssatz bilden den Hauptinhalt dieses pr?gnant und kurz gefa?ten Buches. Viele Figuren und kommentierte ?bungsaufgaben sollen das Durcharbeiten erleichtern.

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Man zeige, daß Zo kein Pol von ef(z) ist. h. die biholomorphen Abbildungen von C auf sich. 7 Hinweise zu den Übungsaufgaben Zu AUFGABE 1: Harmlose, jedenfalls ohne Heimtücke ausgesuchte Beispiele. Für c) an 2cosz = eiz + e- iz denken. :. :. Zu AUFGABE 2: Es wird vorgeschlagen, 1 und 2 als Grenzwerte geometrischer Reihen aufzufassen und die Reihen zu 1 = - L: Zn nur für Izl < 1 multiplizieren. B. _1_ gilt und man für Izl > 1 zu 1 übergehen muß. :. 7 Hinweise zu den Übungsaufgaben 45 Zu AUFGABE 3: Zur eleganten Lösung dieser Aufgabe braucht man einen kleinen Trick, nämlich die Beobachtung, daß an jeder Pol- (und ebenso an jeder endlichfachen Nullstelle) einer Funktion g(z) die sogenannte logarithmische Ableitung g'(z)/g(z) jedenfalls einen Pol erster Ordnung hat.

Kapitel 3. Erste Folgerungen 22 BEWEIS : Wenn es eine solche Potenzreihe gibt, dann ist f in einer offenen Umgebung von Zo beliebig oft komplex differenzierbar (weil konvergente Potenzreihen diese Eigenschaft haben), und ;hf(n)(zo) = C n . Deshalb kann es höchstens eine solche Potenzreihe geben, das ist klar. Zur Existenz: OBdA sei Zo = o. Falls {z Ilz - zol ~ r} CU , gilt für Izl < r nach der Cauchyformel f(z) =~ 21r~ f f«() d( 1(I=r Der Ausdruck 1/(1- ( - Z =~ 21r~ f 1(I=r f«(). ~d(. ( 1 - (" t) aber, der jetzt als Faktor im Integranden (t ) f U -- steht, ist für Iz/(I = Izl/r < 1 der Grenzwert der geomen .

Darüber ist im konkreten Falle leicht Buch zu führen, und wenn man weiß, in welchem Zweig man ist, dann kennt manja fk ganz expli10 zit und formelmäßig. B. einmal im mathematisch positiven Sinne um den Nullpunkt herum, bis sie bei K n = K o wieder ankommt, so ist aus In = In IKn + 2Jri dem Hauptzweig fo der soFig. 47. Ergebnis: Fortsetzung des Haupt- genannte erste Nebenzweig zweiges von oben über den Schlitz hinweg fn = fo + 21ri geworden. 3 Analytische Fortsetzung längs Wegen Sei 1 : [to , td ~ C ein stetiger Weg.

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