Mathematische Abhandlungen Hermann Amandus Schwarz by Oskar Bolza (auth.), C. Carathéodory, G. Hessenberg, E.

By Oskar Bolza (auth.), C. Carathéodory, G. Hessenberg, E. Landau, L. Lichtenstein (eds.)

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Juni/Juli 1998, Frankfurt

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3) d. h. ), welches dieser durch die g a 11 z e u 11 end 1 ich c Potenzreihe C0 + f\ ,<,; + ·•· + c,. ] 7. Es sei (14) eine beliebige Potcnzreihe: welche fiir 1z J < 1 konvergiert. weiter lim i (r) = endlich, 1'= 1 Es sei Über die Konvergenz der Potenzreihe an der Konvergenzgrenze u. s. w. ~y + (~~)'] (0 < r < 1). l~ kon- vergent. , z" + · ·· 1 für lzl = 1 überall summabei ist, mit eventueller Ausnahme einer Punktmenge auf dem Einheitskreise vom Maße Null. iberall" kon vergiertl). Ich habe also das folgende Theorem erhalten: Theorem li.

Gleichmäßig summabei auf dem ganzen Einheitskreise. Dies ist eine Folge meines Satzes iiber die arithmetischen Mittel der Fourierreihe einer iiberall stetigen und nach 2 ~ periodischen Funktion. cvl 2 ; sie ist also gewiß gleichmäßig kon- ver g e n t am Einheitskreise. Also ist, mit Riicksicht auf N r. 3, die Potenzreihe am Einheitskreise gleichmäßig konvergent. Ich Über die Konvergenz der Potenzreihe an der Kom·ergenzgrenze u. s. w. 51 kann also das folgende (schon in Nr. 1 erwähnte und erläuterte) Theorem formulieren: TheoremV.

Y + (~~)'] (0 < r < 1). l~ kon- vergent. , z" + · ·· 1 für lzl = 1 überall summabei ist, mit eventueller Ausnahme einer Punktmenge auf dem Einheitskreise vom Maße Null. iberall" kon vergiertl). Ich habe also das folgende Theorem erhalten: Theorem li. Ist die Potenzreihe f(z) = c0 + c1 z+ .. ·+cnz"+ .. i b er a 11 " k o nver g e n t, (d. h. i b erall, mit eventueller Ausnahme einer Punktmenge auf dem Einheitskreise vom Maße Null). 8. Es sei nun (16) eine Potenzreihe, welche für Jzl < 1 konvergiert, und welche das In- 1) Auch mit Hilfe von neueren Resultaten über trigonometrische Reihen, läßt sich aus der Konvergenz von Iz I = 1 fast überall konvergiert.

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