Theorie und Numerik einer dreidimensionalen by Bischoff M.

By Bischoff M.

Ausgangspunkt der Arbeit ist ein 7-Parameter-Schalenmodell mitBeruecksichtigung der Dickenaenderung, das von Buechter und Ramm (1992) vorgestelltwurde. Die Anwendung eines solchen 3D-Schalenmodells ist insbesondere dann sinnvoll,wenn vollstaendig dreidimensionale Stoffgesetze verwendet werden sollen, womit auchProbleme mit grossen Verzerrungen berechnet werden koennen.Im Gegensatz zu Buechter und Ramm (1992) wird das Schalenmodell in dieser Arbeit unabhaengig von der FE-Formulierung als Semidiskretisierung des Schalenkontinuums inDickenrichtung auf der foundation eines Mehrfeldfunktionals hergeleitet. So kann das7-Parameter-Modell als zweidimensionale, kontinuierliche Theorie mit sieben kinematischenFreiheitsgraden seasoned materiellem Punkt der Schalenmittelflaeche verstanden werden.Es wird angestrebt eine physikalische Interpretation der kinematischen und statischen Variablen zu geben. Der Schwerpunkt liegt dabei auf den Groessen, die beikonventionellen 5-Parameter-Formulierungen nicht auftreten. Fuer den linearen Anteilder Querschubverzerrungen wird ein neuer Schubkorrekturfaktor vorgeschlagen, der denFehler bezueglich der vollstaendig dreidimensionalen Loesung vermindern kann. Es wirdausserdem gezeigt, dass die Anzahl der kinematischen und statischen Variablen in diesem7-Parameter-Modell im Hinblick auf die Verwendung dreidimensionaler Stoffgesetze`optimal' ist.Schliesslich wird ein einheitliches Konzept zur Formulierung drei- und viereckigerSchalenelemente mit Ansaetzen beliebigen Polynomgrades vorgestellt. Dabeiwerden aus der Literatur bekannte Methoden mit eigenen Entwicklungen kombiniert.Ausserdem wird eine Verbesserung bei der Behandlung von Schalen mit Knickenvorgeschlagen. Das Konzept wird fuer lineare und quadratischeDrei- und Viereckelemente verwirklicht. In numerischen Berechnungen linearer sowie materiell und geometrisch nichtlinearer Probleme werden die Eigenschaften der vorgestellten Elemente untersucht.

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Sie wird jedoch meistens Mindlin (1951) zugeschrieben. In dem letztgenannten Aufsatz wird zwar auch eine Plattentheorie unter Berücksichtigung der Querschubverzerrungen vorgestellt, das Hauptaugenmerk liegt jedoch auf der Bedeutung der Querschubverzerrungen bei dynamischen Analysen. Tatsächlich wird bis heute die Kirchhoffsche Theorie zur statischen Berechnung von dünnen Platten als ausreichend betrachtet. Sie ist beispielsweise im Bauwesen aufgrund der Verfügbarkeit von analytischen Lösungen in Form von Tafelwerken noch immer die am meisten verwendete Theorie.

Für einen Ansatz mit finiten Elementen bedeutet das, daß die Verschiebungsfunktionen an den Elementrändern kompatibel sein müssen. 26). 14). 9) im Anhang). Die kinematischen Gleichungen werden hier allerdings mit Hilfe von Lagrange– Multiplikatoren (S und t S) in das Funktional eingebracht (Multiplikatorenmethode). Die freien Variablen sind die Verschiebungen u, Spannungen S und Verzerrungen E. 34) * ŕ ò b @ u dV * ŕ t @ u dA ) ŕ t @ ǒu * u Ǔ dA + stat. 32) V ŕǒt * t Ǔ @ du dA ) ŕ dt @ ǒu * u Ǔ dA + 0 .

11) å 33 + n ǒå 11 ) å 22Ǔ . n*1 Dadurch entfällt der Zwang aus dem zu geringen Verschiebungsansatz. Die Schale kann sich in Dickenrichtung zwängungsfrei ausdehnen oder zusammenziehen. Der Nachteil dieses Modells ist die dazu notwendige statische Kondensation von å 33 aus den konstitutiven Gleichungen. 3) liefert in q 3 konstante Normalverzerrungen in Dickenrichtung å 33 + ēu 3 + w3 . 12) Für die Normalspannungen in Dickenrichtung gilt damit s 33 + E 1)n ǒ w3 ) n 1 * 2n ǒēqēv ) q 1 1 3 ēw 1 ēv 2 ēw 2 ) 2 ) q3 ) w3 1 ēq ēq ēq 2 ǓǓ .

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