Vom Loesen numerischer Probleme: Ein Streifzug entlang der by Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon, Jörg Waldvogel

By Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon, Jörg Waldvogel

Packender Streifzug durch die numerische Mathematik. Die direction orientiert sich an der "SIAM 10 x 10-Digit Challenge". 2002 forderte Nick Trefethen (Oxford) damit Kollegen und Doktoranden weltweit heraus: jede, der in wenigen Sätzen formulierten Aufgaben verlangt dabei nach der Berechnung der ersten zehn Ziffern einer reellen Zahl. Für jede Aufgabe werden vielfältige Lösungen diskutiert. Viele praktische Hinweise helfen Lesern, numerische Probleme zu lösen und lehren sie, die Wahl zwischen konkurrierenden Methoden wohl zu überlegen. Auf der site: der vollständige lauffähige Programmtext aller Verfahren, Beispiele, Tabellen und Figuren.

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Einzig für Problem 5 hatte ich ernsthaft die Literatur durchforstet. In diesem Fall stellte sich das Wissen um Nick Trefethens Werk auf diesem Gebiet als irreführend heraus: Die Methoden seiner Arbeiten können nicht wirklich etwas liefern, was auch nur annähernd auf 10 Ziffern genau wäre. Ich verschwendete einige Stunden auf diesem Holzweg. (Driscoll) Noch irgendwelche weiteren Kommentare? – – – Es war ein Vergnügen, die Gelegenheit zu erhalten, in meiner Freizeit an diesen Wettbewerbsproblemen zu arbeiten.

Sie liefert numerische Methoden von großer Kraft und Vielseitigkeit. Unter Verwendung der Euler’schen Formel eix = cos x + i sin x erhalten wir S= 1 0 Re e(i log x)/x x dx = 1 0 Re e((i/x)−1) log x = dx 1 0 Re xi/x−1 dx. Nach dem Cauchy’schen Integralsatz hängt das Kurvenintegral zwischen zwei Punkten der komplexen Ebene nicht vom Integrationsweg ab, solange jedenfalls der Weg und seine betrachtete Alternative beide in einem einfach zusammenhängenden Gebiet liegen, in welchem die Funktion analytisch ist.

8. 2. Es ist ermutigend festzustellen, dass die Resultate mit den bereits erhaltenen übereinstimmen. Obwohl die Übereinstimmung auf 14 Ziffern hochgradig suggestiv ist, haben wir doch keinen Beweis der Gültigkeit dieser Methode. 9) von der Wahl des Interpolanten unabhängig ist. 10) besitzen den gleichen Wert. 8 Transformation auf ein Fourierintegral Die am besten verstandenen unendlich-oszillatorischen Integrale sind Fourierintegrale. 5 werden wir diese Integrale in größerer Ausführlichkeit diskutieren; hier beschränken wir uns darauf zu zeigen, dass das vorliegende Problem auch auf diesem Weg gelöst werden kann.

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